Publications

2009

• Zoom sur une représentation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments
  
  • Colonna Jean-François
  , 2009. Tridimensional zoom in on the Mandelbrot set with mapping of the arguments (Zoom sur une représentation tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot avec 'mapping' des arguments)
• Rotation of a Bose-Einstein Condensate held under a toroidal trap
  
  • Aftalion Amandine
  • Peter Mason
  , 2009. The aim of this paper is to perform a numerical and analytical study of a rotating Bose Einstein condensate placed in a harmonic plus Gaussian trap, following the experiments of \cite{bssd}. The rotational frequency $\Omega$ has to stay below the trapping frequency of the harmonic potential and we find that the condensate has an annular shape containing a triangular vortex lattice. As $\Omega$ approaches $\omega$, the width of the condensate and the circulation inside the central hole get large. We are able to provide analytical estimates of the size of the condensate and the circulation both in the lowest Landau level limit and the Thomas-Fermi limit, providing an analysis that is consistent with experiment.
• A structural risk-neutral model of electricity prices
  
  • Aïd René
  • Campi Luciano
  • Nguyen Huu Adrien
  • Touzi Nizar
  International Journal of Theoretical and Applied Finance, World Scientific Publishing, 2009, 12 (7), pp.925-947. The objective of this paper is to present a model for electricity spot prices and the corresponding forward contracts, which relies on the underlying market of fuels, thus avoiding the electricity non-storability restriction. The structural aspect of our model comes from the fact that the electricity spot prices depend on the dynamics of the electricity demand at the maturity $T$, and on the random available capacity of each production means. Our model explains, in a stylized fact, how the prices of different fuels together with the demand combine to produce electricity prices. This modeling methodology allows one to transfer to electricity prices the risk-neutral probabilities of the market of fuels and under the hypothesis of independence between demand and outages on one hand, and prices of fuels on the other hand, it provides a regression-type relation between electricity forward prices and forward prices of fuels. Moreover, the model produces, by nature, the well-known peaks observed on electricity market data. In our model, spikes occur when the producer has to switch from one technology to the lowest cost available one. Numerical tests performed on a very crude approximation of the French electricity market using only two fuels (gas and oil) provide an illustration of the potential interest of this model.
• The volume preserving crystalline mean curvature flow of convex sets in R^N
  
  • Bellettini Giovanni
  • Caselles Vicent
  • Chambolle Antonin
  • Novaga Matteo
  Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Elsevier, 2009, 92 (5), pp.499-527. We prove the existence of a volume preserving crystalline mean curvature flat flow starting from a compact convex set C ⊂ RN and its convergence, modulo a time-dependent translation, to a Wulff shape with the corresponding volume. We also prove that if C satisfies an interior ball condition (the ball being the Wulff shape), then the evolving convex set satisfies a similar condition for some time. To prove these results we establish existence, uniqueness and short-time regularity for the crystalline mean curvature flat flow with a bounded forcing term starting from C , showing in this case the convergence of an approximation algorithm due to Almgren, Taylor and Wang. Next we study the evolution of the volume and anisotropic perimeter, needed for the proof of the convergence to the Wulff shape as t -> +∞. (10.1016/j.matpur.2009.05.016)
  DOI : 10.1016/j.matpur.2009.05.016
• Characterisation of the value function of final state constrained control problems with BV trajectories
  
  • Briani Ariela
  • Zidani Hasnaa
  , 2009. This paper aims to investigate a control problem governed by differential equations with Random measure as data and with final state constraints. By using a known reparametrization method (by Dal Maso and Rampazzo), we obtain that the value function can be characterized by means of an auxiliary control problem involving absolutely continuous trajectories. We study the characterization of the value function of this auxiliary problem and discuss its discrete approximations.
• Le relief -module- de la fonction exp(1/z) avec 'mapping' des arguments
  
  • Colonna Jean-François
  , 2009. The relief -modulus- of the function exp(1/z) with argument mapping (Le relief -module- de la fonction exp(1/z) avec 'mapping' des arguments)
• Le relief -module- de la fonction sin(z) avec 'mapping' des arguments
  
  • Colonna Jean-François
  , 2009. The relief -modulus- of the function sin(z) with argument mapping (Le relief -module- de la fonction sin(z) avec 'mapping' des arguments)
• Le relief -module- de la fonction exp(1/z) avec 'mapping' des arguments
  
  • Colonna Jean-François
  , 2009. The relief -modulus- of the function exp(1/z) with argument mapping (Le relief -module- de la fonction exp(1/z) avec 'mapping' des arguments)
• Le relief -module- de la fonction exp(1/z) avec 'mapping' des arguments (vue aérienne)
  
  • Colonna Jean-François
  , 2009. The relief -modulus- of the function exp(1/z) with argument mapping (bird's-eye view) (Le relief -module- de la fonction exp(1/z) avec 'mapping' des arguments (vue aérienne)
• Le relief -module- de la fonction exp(1/z) defini a l'aide de trois champs bidimensionnels
  
  • Colonna Jean-François
  , 2009. The relief -modulus- of the function exp(1/z) defined by means of three bidimensional fields (Le relief -module- de la fonction exp(1/z) defini a l'aide de trois champs bidimensionnels)
• Le relief -module- de la fonction sin(z) defini a l'aide de trois champs bidimensionnels
  
  • Colonna Jean-François
  , 2009. The relief -modulus- of the function sin(z) defined by means of three bidimensional fields (Le relief -module- de la fonction sin(z) defini a l'aide de trois champs bidimensionnels)
• Iles dans la brume
  
  • Colonna Jean-François
  , 2009. Foggy Islands (Iles dans la brume)
• Utilités Progressives Dynamiques.
  
  • Mrad Mohamed
  , 2009. En 2002, Marek Musiela et Thaleia Zariphopoulo ont introduit la notion de {\em forward utility}, c'est à dire une utilité dynamique, progressive, cohérente avec un marché financier donné. On peut voir ce processus comme un champ aléatoire $U(t,x)$ adapté à l'information disponible, qui a chaque instant est une utilité standard (donc en particulier à la date $0$, compatible avec une famille de stratégies données $(X^{\pi})$ au sens où pour tout $t,h>0$, $ \mathbb{E}(U(t+h,X^{\pi}_{t+h})|\mathcal{F}_t)\leq U(t,X^{\pi}_t)$ et il existe un portefeuille optimal $X^*$ pour lequel l'inégalité est une égalité.\\ Les auteurs ont fait plusieurs articles sur ce sujet, montrant en particulier comment les utilités classiques, puissance, exponentielle, etc doivent être modifiées pour être des utilités dynamique progressives. Une attention limitée a été portée à l'univers d'investissement. \noindent Dans mon travail de thèse, je considère un cadre beaucoup plus général. En effet, le marché est incomplet dans le sens où un investisseur est contraint, à chaque date $t\ge 0$, de choisir ces stratégies admissibles dans des cones convexes fermés, adaptés $\K_t (X_t)$ dépendent du niveau de sa richesse $X_t$. Je considère par la suite que les champs aléatoires $U(t,x)$ évoluent selon la dynamique \begin{equation}\label{eq:champ} dU(t,x)=\beta(t,x)+\Gamma(t,x) dW_t,~U(0,.)=u(.) (\text{donnée}) \end{equation} Comme dans l'optimisation classique, (dite rétrograde puisqu'on reconstruit l'information à partir de la fin), %je montre que le terme %$\beta(t,x)$ contient, contient nécéssairement, un terme de type hamiltonien classique %modifié par la présence de la dérivée de la volatilité %$\Gamma(t,x)$ de l'utilité progressive. Et par conséquent toute utilité progressive qui % satisfait les hypothèses de régularités du lemme d'Itô-Ventzell % satisfait je me propose d'étudier les équations de type Hamilton-Jacobi-Bellman que satisfait une utilités progressive $u(t,x)$. Pour mener cette étude, j'utilise une formule d'Itô généralisée apellée la formule de Ventzell-Friedlin, qui permet d'établir la décomposition de type Itô de la composée d'un champ aléatoire avec un processus d'Itô. Je montre alors que le terme $\beta(t,x)$ contient, nécéssairement, un terme de type hamiltonien classique modifié par la présence de la dérivée de la volatilité $\Gamma(t,x)$ de l'utilité progressive. Et par conséquent toute utilité progressive qui satisfait les hypothèses de régularités du lemme d'Itô-Ventzell satisfont l' équation différentielle stochastique suivante \begin{equation}\label{EDPSU} dU(t,x)=\Big\{-xU'_{x}\, r_t dt+ \frac{1}{2U''_{xx}(t,x)}\|\prod_{\K_t(x)\sigma_t}\big(U'_{x}(t,x) \eta_t+\Gamma'_x(t,x)\big) \|^2\Big\}(t,x)\,dt\>+\Gamma(t,x)\,dW_t. \end{equation} avec comme portefeuille optimal $X^*$ le processus associé à la stratégie $\pi^*$ donnée par \begin{equation} x\pi^*(t,x)\sigma_t=- \frac{1}{U''_{xx}(t,x)}\|\prod_{\K_t(x)\sigma_t}\big(U'_{x}(t,x) \eta_t+\Gamma'_x(t,x)\big)(t,x) \end{equation} \noindent où $r$ est le taux court, $\eta$ la prime de marché, $\sigma$ la matrice de variance covariance des actifs et $ \prod_{\K_t(x)\sigma_t}$ désigne l'opérateur de projection sur le cône $\K_t(x)\sigma_t$. \\ Ce point de vue permet de vérifier que le champ aléatoire, s'il existe est compatible avec l'univers d'investissement. Cependant, la question de la convexité et de la monotonie est complexe a priori, car il n'existe pas de théorèmes de comparaison pour les équations progressives (qui sont {\em forward}), contrairement au cas des équations rétrogrades. La question de l'interprétation et du rôle de la volatilité s'avère alors être centrale dans cette étude. Contrairement au cadre général que je considère ici, M.Musiela et T.Zariphopoulo, puis C.Rogers et al se sont restreint au cas où la volatilité de l'utilité est identiquement nulle. Le processus progressif $u(t,x)$ est alors une fonction déterministe satisfaisant une EDP non linéaire, que les auteurs ont transformé en solution harmonique espace temps de l'équation de la chaleur. \\ Mon choix a été d'étudire la question de la volatilité par des techniques de changement de numéraire; ainsi, je montre la stabilité de la notion d'utilité progressive par changement de numéraire. L'avantage considérable de cette technique, comparée à la méthode classique, % Comme dans le cas % classique, le problème est compliqué par le fait que l'espace des % contraites n'est pas invariant par changement de numéraire. est le fait qu'elle permet de se ramener toujours à un marché "martingale" ($r=0$ et $\eta=0$), ce qui simplifie considérablement les équations et les calculs. La dérivée de la volatilité apparaît alors comme une prime de risque instantanée que le marché introduit, et qui dépend du niveau de la richesse de l'investisseur. Ce point de vue nouveau permet de répondre à la question de l'interprétation de la volatilité de l'utilité. Dans la suite, j'étudie le problème dual et je montre que la transformée de {\em Fenchel} $\tU$ de la fonction concave $U(t,x)$ est un champ markovien lui aussi satisfaisant la dynamique \begin{eqnarray}\label{EDPSDuale'} d\tilde{U}(t,y)=\left[\frac{1}{2\tU_{yy}''}(\|\tilde{\Gamma}'\|^2-\|\prod_{\K_t(-\tU_y'(t,y))\sigma_t}(\tilde{\Gamma}^{'}_y-y\eta_t)\|^2) +y\tU_{y}' r_t\right](t,y)dt +\tilde{\Gamma}(t,y)dW_t,~~\tilde{\Gamma}(t,y)=\Gamma(t,\tU_y'(t,y)). \end{eqnarray} À partir de ce résultat je montre que le problème dual admet une unique solution $Y^*$ dans la volatilté $\nu^*$ est donnée par \begin{equation} y\nu^*(t,y)= -\frac{1}{\tU_{yy}''}\Big(\tilde{\Gamma}'+y\eta_t-\prod_{\K_t(-\tU_y')\sigma_t}(\tilde{\Gamma}^{'}_y-y\eta_t)\Big)(t,y). \end{equation} \noindent Ce ci permettra d'établir les identités clé suivantes: \begin{eqnarray} &Y^*(t,(U_x')^{-1}(0,x))=U'_x(t,X^*(t,x)) \label{A}\\ &(\Gamma'_x+U'_x\eta)(t,x)=(xU''(t,x)\pi^*(t,x)\sigma_t+\nu^*(U_x'(t,x))\label{B}. \end{eqnarray} % Remarquons que le terme $(\Gamma'_x+U'_x\eta)$ se décompose de manière unique sous forme % de sa projection sur le cone $\K\sigma$, qui est la stratégie optimale, et la projection sur le cone dual $\K^* \sigma$, % qui est la volatilité du processus optimal dual. Mais notre but est deux termes projétés su comme la projection % Á partir de la première identité nous savons que $U'_x(t,X^*(t,x))$ n'est autre que le processus optimal dual %Á ce stade rapellons que le but de cette étude est de carracteriser les utilités progressives. La question par la suite est la suivante: peut-on caractériser l'utilité $U(t,x)$ pour tout $x>0$ à partir de la première identité? Ceci peut paraître trop demander car nous cherchons à caractériser le champ $U$ connaissant seulement son comportement le long de l'unique trajectoire optimale $X^*$. Cependant, la réponse à cette question s'avère être positive et assez simple. En effet, notons par $\Y(t,x):=Y^*(t,(U_x')^{-1}(0,x))$, et supposons que le flot stochastique $X^*$ soit inversible, $\X$ désigne son inverse. Alors, en inversant dans (\ref{A}), je déduis que $U_x'(t,x)=\Y(t,\X(t,x))$. En intégrant par rapport à $x$, j'obtiens que $U(t,x)=\int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$, ce qui prouve le théorème suivant: \begin{theo} Sous des hypothèses de régularités et d'inversion du flot $X^*$, les processus $U$ définis par $U(t,x)=\int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$ sont des utilités progressives solutions de l'EDP stochastique (\ref{EDPSU}). \end{theo} % %\noindent Inversement, je montre le théorème d'EDP stochastique suivant: \begin{theo} Soit $U$ un champ aléatoire solutions de l'EDP stochastique (\ref{EDPSU}). En utilisant la décompostion (\ref{B}), si les EDS suivantes \begin{eqnarray*} & dX^*_t(x)=X^*_t(x)(r_tdt+\pi^*(t,X^*_t(x))\sigma_t(dW_t+\eta_tdt)),X^*_0(x)=x ~\\ & dY^*_t(y)=Y^*_t(y)(-r_tdt+\nu^*(t,Y^*_t(y))dW_t),~Y^*_0(y)=y \end{eqnarray*} admettent des solutions fortes unique et monotonnes, alors, en notant par $ \Y(t,x):=Y^*(t,(U_x')^{-1}(0,x))$ et par $\X$ le flot inverse de $X$, on obtient que $U(t,x)= \int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$. Si de plus $X^*$ et $Y^*$ sont croissants, $U$ est concave. \end{theo} \noindent %Dans ce travail, je considère toujours un marché incomplet, Dans une seconde partie de ce travail, je me place dans un cadre beaucoup plus général dans le sens où les actifs sont supposés être cadlag locallement bornés, et par conséquent la filtration n'est plus une filtration brownienne. Je remplace les contraintes de type cône convexe par des contraintes plus générales de type ensemble convexe. Le but de cette partie est de caractériser toutes les utilités progressives avec le minimum d'hypothèses, notamment avec moins d'hypothèses de régularités sur les champs aléatoires $U$. Je ne suppose plus que $U$ est deux fois différentiable et par conséquent je ne peut plus appliquer le lemme d'Itô-Ventzell. L'approche est alors différente: je commence par établir des conditions d'optimalité sur le processus de richesses optimale ainsi que le processus optimal dual, et ce en utilisant des méthodes d'analyse. En utilisant ces résultats je démontre, par des éléments d'analyse, la convexité ainsi que les conditions d'optimalités que toutes les utilités progressives générant une richesse croissante est de la forme $\int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$ avec $\Y$ : $\Y X$ est une surmartingale pour toute richesse $X$ et une martingale si $X=X^*$.
• Un ensemble de 4x3 stéréogrammes du système solaire avec une planète virtuelle verte -point de vue de la planète virtuelle
  
  • Colonna Jean-François
  , 2009. A set of 4x3 stereograms of the Solar System with a green virtual planet -virtual planet point of view- (Un ensemble de 4x3 stéréogrammes du système solaire avec une planète virtuelle verte -point de vue de la planète virtuelle-)
• Vue artistique d'un entrelacs
  
  • Colonna Jean-François
  , 2009. Vue artistique d'un entrelacs
• Vue artistique de montagnes
  
  • Colonna Jean-François
  , 2009. Artistic view of mountains (Vue artistique de montagnes)
• What can we hope about output tracking of bilinear quantum systems?
  
  • Boscain Ugo
  • Chambrion Thomas
  • Sigalotti Mario
  • Mason Paolo
  , 2010, 15, pp.251-256. We consider a non-resonant bilinear Schrödinger equation with discrete spectrum driven by a scalar control. We prove that this system can approximately track any given trajectory, up to the phase of the coordinates, with arbitrary small controls. The result is valid both for bounded and unbounded Schrödinger operators. The method used relies on finite-dimensional control techniques applied to Lie groups.
• Entrelacs
  
  • Colonna Jean-François
  , 2009. Intertwining (Entrelacs)
• Entrelacs
  
  • Colonna Jean-François
  , 2009. Intertwining (Entrelacs)
• Entrelacs
  
  • Colonna Jean-François
  , 2009. Intertwining (Entrelacs)
• Entrelacs
  
  • Colonna Jean-François
  , 2009. Intertwining (Entrelacs)
• Entrelacs
  
  • Colonna Jean-François
  , 2009. Intertwining (Entrelacs)
• Vue artistique du 'Big Bang
  
  • Colonna Jean-François
  , 2009. Artistic view of the Big Bang (Vue artistique du 'Big Bang')
• Intégration tridimensionnelle du filtrage gaussien anisotrope de Fourier d'un champ aléatoire avec rotation de 2.pi du noyau
  
  • Colonna Jean-François
  , 2009. Tridimensional integration of the anisotropic gaussian Fourier filtering of a random field with a 2.pi rotation of the kernel (Intégration tridimensionnelle du filtrage gaussien anisotrope de Fourier d'un champ aléatoire avec rotation de 2.pi du noyau)
• On a reaction-diffusion model for calcium dynamics in dendritic spines
  
  • Hamdache Kamel
  • Labadie Mauricio
  Nonlinear Analysis: Real World Applications, Elsevier, 2009, 10 (4), pp.2478-2492. As it was pointed out by D. Holcman and Z. Schuss in Modeling calcium dynamics in dendritic spines (SIAM J. Appl. Math. 2005, Vol. 65, No. 3, pp. 1006-1026), the concentration of calcium ions inside the dendritic spines plays a crucial role in the synaptic plasticity, and in consequence in cognitive processes like learning and memory. The goal of this paper is to study the reaction-diffusion model of calcium dynamics in dendritic spines proposed by Holcman and Schuss. We start from the construction of the model of Holcman and Schuss, taking special care on the hypotheses in order to set a problem with realistic biological assumptions supported by experimental evidence but still mathematically solvable. We show that the dynamics of the calcium ions and the proteins interacting with them follows a system of coupled nonlinear reaction-diffusion equations, which is degenerate elliptic if the proteins are considered fixed, and strongly elliptic if they diffuse with a diffusion coefficient d>0. In the first case we prove a priori estimates, global existence, global uniqueness and positivity of solutions, whereas in the second case we prove not only the same features but also that the problem is well-posed. Moreover, we show that there is a “continuous” link between the two problems in the sense that the solutions of the problem with d>0 converge to the solutions of the problem with d=0. (10.1016/j.nonrwa.2008.05.005)
  DOI : 10.1016/j.nonrwa.2008.05.005