Publications

2007

• Equations aux dérivées partielles en finance : problèmes inverses et calibration de modèle.
  
  • Rouis Moeiz
  , 2007. Dans la premiere partie de cette these, on a etudie l'impact sur les prix d'options des erreurs d'estimation de volatilite. Dans les modeles de diffusion utilises ennance, un coefficient de diffusion fonctinnelle (:; :) modelise la volatilite d'un actif financier. Ce coefficient est estime a partir d'observations donc entache d'erreurs statistiques. L'objectif est de voir l'impact de ces erreurs sur le calcul de prix d'options, qui sont solutions d'EDP paraboliques dont l'estimateur (:; :) est le coefficient de diffusion. Cela debouche sur un probleme de passage a la limite (homogeneisation) dans des equations paraboliques a coefficients aleatoires. Dans ce travail on a obtenu des estimations de la vitesse de convergence locale sur la solution d'une EDP parabolique a coefficients aleatoire, lorsque le coefficient de diffusion est un champ aleatoire convergeant vers une fonction limite. Ce resultat permet d'etudier l'im- pact sur les prix d'options des erreurs d'estimation de volatilite dans differents cas degures. Cette methode est appliquee pour evaluer l'incertitude sur les options a barrieres dans un modele de diffusion lorsqu'on reconstitue la volatilite par la formule de Dupire a partir des donnees discretes sur les prix d'options. La deuxieme partie de cette these concerne l'etude de problemes inverses pour certaine classe d'equations d'evolution integro-differentielles survenant dans l'etude des modeles d'evaluation bases sur les processus de Levy. On a etudie une approche de ces problemes inverses par regularisation de Tikhonov. Cette approche permet de reconstruire de facon stable les parametres d'un modele markovien avec sauts a partir de l'observation d'un nombre ni d'options. Le chapitre 4 pose les bases theoriques de cette approche et propose une parametrisation des mesures de Levy par la racine carree de la densite, ce qui permet de ramener le probleme dans un cadre hilbertien. La regularisation de Tikhonov proposee consiste a minimiser l'ecart quadratique par rapport aux prix observ es plus une norme hilbertienne des parametres. Des resultats d'existence, de stabilite et de convergence de la solution du probleme regularise sont alors obtenus sous de hypotheses assez generales ; des hypotheses supplementaires (conditions de source) permettent d'obtenir une estimation de la vitesse de convergence. Le choix du parametre de regularisation, sujet delicat, fait l'objet d'une discussion detaillee. Le chapitre 5 propose un algorithme numerique pour le calcul de la solution du probleme regularise et l'etude du performance de cet algorithme dans differents modeles avec sauts. L'algorithme est base sur l'emploi d'un algorithme de gradient pour la minimisation de la fonctionnelle regularisee : le gradient est calcule en resolvant une equation integrodifferentielle avec terme source (equation adjointe). Ce travail generalise ceux de Lagnado&Osher, Crepey et Egger & Engl au cas des equations integrodifferentielles. Les tests numeriques montrent que cet algorithme permet de construire de facon stable un processus de Levy calibre a un ensemble de
• On the auxiliary particle filter
  
  • Douc Randal
  • Moulines Eric
  • Olsson Jimmy
  , 2007. In this article we study asymptotic properties of weighted samples produced by the auxiliary particle filter (APF) proposed by pitt and shephard (1999). Besides establishing a central limit theorem (CLT) for smoothed particle estimates, we also derive bounds on the Lp error and bias of the same for a finite particle sample size. By examining the recursive formula for the asymptotic variance of the CLT we identify first-stage importance weights for which the increase of asymptotic variance at a single iteration of the algorithm is minimal. In the light of these findings, we discuss and demonstrate on several examples how the APF algorithm can be improved.
• The coupling of homogeneous models for two-phase flows
  
  • Ambroso Annalisa
  • Chalons Christophe
  • Coquel Frédéric
  • Godlewski Edwige
  • Lagoutière Frédéric
  • Raviart Pierre-Arnaud
  • Seguin Nicolas
  International Journal on Finite Volumes, Institut de Mathématiques de Marseille, AMU, 2007, 4, pp.1--39. We consider the numerical coupling at a fixed spatial interface of two homogeneous models used for describing non isothermal compressible two phase flows. More precisely, we concentrate on the numerical coupling of the homogeneous equilibrium model and the homogeneous relaxation model in the context of finite volume methods. Three methods of coupling are presented. They are based on one of the following requirements: continuity of the conservative variable through the coupling interface, continuity of the primitive variable and global conservation of mass, momentum and energy. At the end, several numerical experiments are presented in order to illustrate the ability of each method to provide results in agreement with their principle of construction.
• Visualisation artistique du systeme solaire vu depuis la Terre
  
  • Colonna Jean-François
  , 2007. Artistic view of the Solar System viewed from the Earth (Visualisation artistique du systeme solaire vu depuis la Terre)
• Visualisation artistique du système solaire vu depuis la Terre
  
  • Colonna Jean-François
  , 2007. Artistic view of the Solar System viewed from the Earth (Visualisation artistique du systeme solaire vu depuis la Terre)
• Débruitage géométrique d'images dans des bases orthonormées de bandelettes
  
  • Le Pennec Erwan
  • Dossal Charles H
  • Peyré Gabriel
  • Mallat Stéphane
  , 2007, pp.969-972. Cet article présente le premier estimateur quasi minimax adaptatif pour les images géométriquement régulières dans un modèle de bruit blanc. Cet estimateur combine les capacités d'approximation des bases orthonormées de bandelettes à la théorie de la sélection de modèles. L'estimateur ainsi obtenu est calculable par un algorithme rapide dont l'efficacité théorique peut être prouvé. Ces performances sont confirmées par des expériences numériques sur des images naturelles.
• Multi-static response matrix of a 3-D inclusion in half space and MUSIC imaging
  
  • Iakovleva Ekaterina
  • Gdoura Souhir
  • Lesselier Dominique
  • Perrusson Gaële
  IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Institute of Electrical and Electronics Engineers, 2007, 55 (9), pp.2598-2609. Recent work on the retrieval of 3-D bounded di- electric and/or magnetic inclusions in free space is extended to burial in a half-space. Though emphasis is on the case of a single inclusion, enabling the derivation of closed-form mathematical results in illuminating fashion, the approach extends to the case of (an unknown number of) well-separated inclusions. Within an asymptotic field formulation derived from exact contrast-source vector integral formulations satisfied by the time-harmonic fields and using proper reciprocity relationships of the dyadic Green's functions, the multistatic response matrix of the inclusion is constructed from the leading-order term of the fields. Its singular value structure is analyzed in detail for a dielectric or a magnetic contrast, or both contrasts. This is performed in the case of a unique electric dipole array operated in the transmit/receive mode at a single frequency. A multiple signal classification-type algo- rithm follows from the decomposition, yielding a cost functional the magnitude of which peaks at the inclusion center. Numerical results illustrate the above as a function of the geometric and electromagnetic parameters of the configuration. Imaging of a spherical inclusion is in particular investigated from severely noisy synthetic data, as well as of two inclusions embedded within a non-conductive or conductive half space. (10.1109/TAP.2007.904103)
  DOI : 10.1109/TAP.2007.904103
• Geometric Estimation with Orthogonal Bandlet Bases
  
  • Peyré Gabriel
  • Le Pennec Erwan
  • Dossal Charles H
  • Mallat Stéphane
  , 2007, 6701 (2), pp.67010M.1-67010M.10. This article presents the first adaptive quasi minimax estimator for geometrically regular images in the white noise model. This estimator is computed using a thresholding in an adapted orthogonal bandlet basis optimized for the noisy observed image. In order to analyze the quadratic risk of this best basis denoising, the thresholding in an orthogonal bandlets basis is recasted as a model selection process. The resulting estimator is computed with a fast algorithm whose theoretical performance can be derived. This efficiency is confirmed through numerical experiments on natural images.
• L'attracteur de Lorenz
  
  • Colonna Jean-François
  , 2007. The Lorenz attractor (L'attracteur de Lorenz)
• L'attracteur de Lorenz
  
  • Colonna Jean-François
  , 2007. The Lorenz attractor (L'attracteur de Lorenz)
• Computable Convergence Rates for Subgeometrically Ergodic Markov Chains
  
  • Douc Randal
  • Moulines Éric
  • Soulier Philippe
  Bernoulli, Bernoulli Society for Mathematical Statistics and Probability, 2007, 13 (3). In this paper, we give quantitative bounds on the $f$-total variation distance from convergence of an Harris recurrent Markov chain on an arbitrary under drift and minorisation conditions implying ergodicity at a sub-geometric rate. These bounds are then specialized to the stochastically monotone case, covering the case where there is no minimal reachable element. The results are illustrated on two examples from queueing theory and Markov Chain Monte Carlo. (10.3150/07-BEJ5162)
  DOI : 10.3150/07-BEJ5162
• Localization and characterization of simple defects in finite-size photonic crystals
  
  • Groby Jean-Philippe
  • Lesselier Dominique
  , 2007. Structured materials like photonic crystals require for optimal use a high precision both on position and optical characteristics of the components which they are made of. Here, we present a simple tomographic algorithm, based on a specific Green's function together with a first-order Born approximation, which enables us to localize and characterize identical defects in finite-size photonic crystals. This algorithm is proposed as a first step to the monitoring of such materials. Illustrative numerical results show in particular some possibility of focalization beyond the Rayleigh criterion.
• Nonlinear SDEs driven by Lévy processes and related PDEs
  
  • Jourdain Benjamin
  • Méléard Sylvie
  • Woyczynski Wojbor
  , 2007. In this paper we study general nonlinear stochastic differential equations, where the usual Brownian motion is replaced by a Lévy process. We also suppose that the coefficient multiplying the increments of this process is merely Lipschitz continuous and not necessarily linear in the time-marginals of the solution as is the case in the classical McKean-Vlasov model. We first study existence, uniqueness and particle approximations for these stochastic differential equations. When the driving process is a pure jump Lévy process with a smooth but unbounded Lévy measure, we develop a stochastic calculus of variations to prove that the time-marginals of the solutions are absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure. In the case of a symmetric stable driving process, we deduce the existence of a function solution to a nonlinear integro-differential equation involving the fractional Laplacian.
• Nouvelle Lune fractale
  
  • Colonna Jean-François
  , 2007. Fractal new Moon (Nouvelle Lune fractale)
• A Sequential Monte-Carlo algorithm for solving BSDEs
  
  • Gobet Emmanuel
  • Labart Céline
  , 2007, 7 (1), pp.1081801-1081802. We present and analyze a numerical algorithm for solving BSDEs based on Picard iterations and on a sequential control variate method. Its convergence is geometric. Moreover, our algorithm provides a regular solution w.r.t. time and space. (10.1002/pamm.200700298)
  DOI : 10.1002/pamm.200700298
• Un gradient de 114299 particules obtenu par un processus de diffusion tridimensionnelle
  
  • Colonna Jean-François
  , 2007. A gradient of 114299 particles obtains by means of a tridimensional diffusion process (Un gradient de 114299 particules obtenu par un processus de diffusion tridimensionnelle)
• Un gradient de 114299 particules obtenu par un processus de diffusion tridimensionnelle
  
  • Colonna Jean-François
  , 2007. A gradient of 114299 particles obtains by means of a tridimensional diffusion process (Un gradient de 114299 particules obtenu par un processus de diffusion tridimensionnelle)
• Un gradient de 128312 particules obtenu par un processus de diffusion tridimensionnelle
  
  • Colonna Jean-François
  , 2007. A gradient of 128312 particles obtains by means of a tridimensional diffusion process (Un gradient de 128312 particules obtenu par un processus de diffusion tridimensionnelle)
• Error expansion for the discretization of Backward Stochastic Differential Equations
  
  • Gobet Emmanuel
  • Labart Céline
  Stochastic Processes and their Applications, Elsevier, 2007, 117 (7), pp.803-829. We study the error induced by the time discretization of a decoupled forward-backward stochastic differential equations $(X,Y,Z)$. The forward component $X$ is the solution of a Brownian stochastic differential equation and is approximated by a Euler scheme $X^N$ with $N$ time steps. The backward component is approximated by a backward scheme. Firstly, we prove that the errors $(Y^N-Y,Z^N-Z)$ measured in the strong $L_p$-sense ($p \geq 1$) are of order $N^{-1/2}$ (this generalizes the results by Zhang 2004). Secondly, an error expansion is derived: surprisingly, the first term is proportional to $X^N-X$ while residual terms are of order $N^{-1}$. (10.1016/j.spa.2006.10.007)
  DOI : 10.1016/j.spa.2006.10.007
• Hommage à Archimède
  
  • Colonna Jean-François
  , 2007. A Tribute to Archimedes (Hommage à Archimède)
• Familles de mesures au bord et bas du spectre.
  
  • Mohsen Olivier
  , 2007. Dans ce memoire, j'expose la theorie des familles equivariantes de mesures sur le bord a l'infini du revetement universel d'une variete compacte a courbure strictement negative. Ensuite j'utilise cette theorie pour etudier le comportement du bas du spectre du laplacien des fonctions sur le revetement universel lorsqu'on fait varier la metrique sur la variete compacte. J'utilise aussi cette theorie pour demontrer la rigidite du spectre marque des longueurs dans la classe conforme d'une metrique a courbure negative sur une variete compacte.
• Conception optimale de mécanismes compliants par la méthode des lignes de niveaux
  
  • Jouve François
  • Mechkour Houari
  , 2007. Dans le cadre de l'optimisation de structures élastiques, nous proposons deux extensions naturelles de la méthode des lignes de niveaux qui peuvent s'avérer utiles aux concepteurs de micro-mécanismes. Nous introduisons deux nouvelles fonctions-coût, proches de celles utilisées dans le domaine de la conception de mécanismes, ainsi qu'une stratégie pour traiter le cas de mécanismes adaptés à plusieurs chargements (multi-chargement). Nous illustrons ce travail par quelques exemples numériques
• Acoustic response of a rigid frame porous medium slab with a periodic set of inclusions
  
  • Groby Jean-Philippe
  • Wirgin Armand
  • de Ryck Laurent
  • Lauriks Walter
  , 2007. The acoustic response of a rigid frame porous slab with a periodic set of inclusions is calculated by use of a multipole method. The acoustic properties, in particular the absorption, of such a structure are then derived and studied. Numerical results together with a modal analysis show that the addition of a periodic set of high-contrast inclusions leads to quasi-modes excitation of both the slab and the gratings, and to a large increase of the acoustic absorption of the initial slab, this being partly due to the quasi-modes excitation.
• Vue tridimensionnelle (vue d'avion) de la densité de particules pendant un processus de diffusion bidimensionnelle
  
  • Colonna Jean-François
  , 2007. Tridimensional display (bird's-eye view) of the density of particles during a bidimensional diffusion process (Vue tridimensionnelle (vue d'avion) de la densité de particules pendant un processus de diffusion bidimensionnelle)
• Vue tridimensionnelle (vue d'avion) de la densité de particules pendant un processus de diffusion bidimensionnelle
  
  • Colonna Jean-François
  , 2007. Tridimensional display (bird's-eye view) of the density of particles during a bidimensional diffusion process (Vue tridimensionnelle (vue d'avion) de la densite de particules pendant un processus de diffusion bidimensionnelle)